数学对社会进步的推动作用

数学在其发展的早期主要是作为一种实用的技术或工具，广泛应用于处理人类生活及社会活动中的各种实际问题。早期数学应用的重要方面有：食物、牲畜、工具以及其他生活用品的分配与交换，房屋、仓库等的建造，丈量土地，兴修水利，编制历法等。随着数学的发展和人类文化的进步，数学的应用逐渐扩展和深入到更一般的技术和科学领域。从古希腊开始，数学就与哲学建立了密切的联系，近代以来，数学又进入了人文社会科学领域，并在当代使人文社会科学的数学化成为一种强大的趋势。与此同时，数学在提高全民素质、培养适应现代化需要的各级人才方面也显现出非凡的教育功能。数学在当代社会中有许多出人意料的应用，在许多场合，它已经不再单纯是一种辅助性的工具，它已经成为解决许多重大问题的关键性的思想与方法，由此产生的许多成果，又早已静静地遍布在我们身边，极大地改变了我们的生活方式。

一、数学与当代科学技术

在科学发展的进程中，数学的作用日见凸现。一方面，高新技术的基础是应用科学，而应用科学的基础是数学；另一方面，随着计算机科学的迅猛发展，数学兼有了科学与技术的双重身份，现代科学技术越来越表现为一种数学技术。当代科学技术的突出特点是定量化，而定量化的标志就是运用数学思想和方法。精确定量思维是对当代科技人员的共同要求。所谓定量思维是指人们从实际中提炼数学问题，抽象为数学模型，用数学计算求出此模型的解或近似解，然后回到现实中进行检验，必要时修改模型使之更切合实际，最后编制解题的计算机软件，以便得到更广泛和方便的应用。高技术的高精度、高速度、高自动、高质量、高效率等特点，无一不是通过数学模型和数学方法并借助计算机的控制来实现的。

电子计算机的发明与使用是第二次世界大战以来对人类文明影响最为深远的科技成就之一。电子计算机是数学与工程技术相结合的产物，而在其发展的每个历史关头，数学都起了关键的作用。通用计算机的概念最先是由数学家巴贝奇提出的；图灵从数学上证实了制造通用数字计算机的可能性；冯·诺伊曼的程序存储等思想至今仍是现代计算机的设计指南。毫无疑问，计算机的进一步发展，包括新型计算机（如大规模并行计算机、光计算机、量子计算机、生物计算机等）的研制，仍将借助于适当的数学理论与思想。电子计算机之所以有强大的功能，除了它本身独特的设计思想外，最主要的是因为有了软件的支持。计算机是由硬件和软件两部分组成的，假如说硬件是它的躯体，那么软件就是它的灵魂。软件的核心是算法，所以它是一种数学。1997年，IBM公司制造的“深蓝”计算机惊人地一举击败了当今世界上国际象棋第一高手——俄罗斯的卡斯帕罗夫，世界为之轰动。“深蓝”之所以能有如此水平，主要是由于十分巧妙的算法以及高速计算机的支持。

传统的观点认为，理论与实验是科学研究的两个基本方法。由于20世纪前半期数学的巨大发展，它的研究领域空前扩大，因而使得众多的实际问题可以转化为数学问题。第二次世界大战以来，社会各方面的实际需要向数学提出了空前大量的问题。战后电子计算机（电脑）及计算机技术（软件、多媒体等）的发展，使得以往无法实现的繁杂计算和不敢设想的算法（如计算机模拟等）都可以进行。如今，科学计算已经和理论、实验共同构成当代科学研究的三大支柱。

天文学是最早运用数学的科学领域，这可以上溯到2 000多年前的古希腊时代。17世纪，牛顿完成了哥白尼所开创的天文学革命，为经典天文学奠定了基础，而他的天文学（天体力学）本质上是数学的而不是物理学的。借助数学方法和计算技术，天体力学在当代获得了引人注目的成就。例如，应用牛顿定律和高速计算机，天文学家们已经猜测了太阳系在未来2亿年内的运动情形。

另一个闻名的例子是天体物理中的数值模拟。天文学研究的许多问题，如宇宙、星系的演化，太阳系中行星、卫星的形成，其尺度经常是以光年计算的（例如，离太阳系最近的恒星是半人马座比邻星，距离大约为4.3光年；银河系的范围约为10万光年；最近的河外星系的距离约为100万光年），其时间经常是以亿年计算的（例如，太阳系是在距今50～46亿年前形成的），天体及宇宙空间中的超高温、超低温、超高压、超高密度以及其他许多物理条件，都不是世界上任何实验室所能达到的，研究有关的物理过程又涉及极为复杂的多变量微分方程和积分方程。例如，太阳表面的温度为5770 K，白矮星的密度为 ～ 克/ ；20世纪20年代，人们发现天狼星的一颗伴星，其质量约为太阳的1.053倍，但半径却只有太阳半径的0.0074倍，平均密度高达 克/ ，温度约 K；中子星的密度为 ～ 克/厘米3等。因此，对这些问题的研究既需要进行大型的复杂计算，又需要进行大量的模拟试验。随着大型计算机的出现以及计算机科学的发展，数值模拟方法应运而生，成为天文学家手中的强有力工具。

一位物理学家写道：“贯穿整个物理科学的曲折变化的历史，有一个仍然不变的因素，就是数学想像力的绝对重要性。每个世纪都有它特有的科学预见和它特有的数学风格。每个世纪物理科学的主要进展都是在经验的观察与纯数学的直觉相结合的引导下取得的。对于一个物理学家来说，数学不仅是计算现象的工具，也是得以创造新理论的概念和原理的主要源泉。”相对论和量子力学是现代物理学的核心领域，它们的建立与发展都与数学有密切关系。

1905～1915年，爱因斯坦发展了他的广义相对论，其核心是引力理论，关键是熟悉到引力只是时空弯曲的一种表现。广义相对论认为，引力场的分布将影响到光的传播路径。例如，爱因斯坦预言，来自恒星的光从太阳近旁擦过时将向太阳一方偏斜，于是，从地球上观测到的恒星位置将背离太阳移动。由于光线在空间中总是沿着最短路径传播的，光线路径的弯曲实际上表明引力场的空间是弯曲的。空间弯曲的程度是由宇宙中物质的分布决定的，一个区域内的物质密度越大，空间的曲率也就越大。爱因斯坦并不需要重新发明关于弯曲空间的数学，他发现一切都已经预备好了：在此之前半个世纪，数学家黎曼就研究了弯曲的三维空间的问题；广义相对论所需要的另一个数学工具张量分析也已经在19世纪末初步建立。

1900年，德国物理学家普朗克发现，像物质一样，能量也只能被分为有限的份数，而不是无穷多份。他的这个工作的中心是一个数学关系，它表明，量子的能量可以用辐射的频率乘以一个新的基本自然常数来计算，现在这个常数就被称为普朗克常数。1925年7月，德国物理学家海森堡发表了论文《关于运动学和动力学关系的重新解释》，这篇论文从丹麦物理学家玻尔的对应原理出发，由经典运动方程加量子条件，得到了一个仅以可观察量为基础的量子力学运动方程，并用这个方程求解一个较简单的非谐振子量子力学系统，得到了与实验相符的频率和跃迁几率。两个月后，德国物理学家玻恩及其学生P.约旦发表了论文《论量子力学》，用矩阵代数的形式系统地表示海森堡理论，矩阵元对应于可观察量，矩阵乘法规则与海森堡运算规则一致，得出的矩阵方程相当于海森堡量子条件。随后，他们与海森堡合作发表了论文《论量子力学Ⅱ》，系统地发展起矩阵形式的量子力学体系，成功地处理了一系列问题，从而建立了量子力学的基本形式之一——矩阵力学。矩阵论是19世纪中期由英国数学家凯莱在研究线性变换不变量问题时开创的，矩阵代数的运算与通常的代数运算有一个明显的差异：矩阵乘法不满足交换律。后来人们熟悉到，这个不对称的数学特点联系着这样一个事实：仅仅是测量的前后次序不同，微观世界就可能给出不同的结果。这是量子世界所显示的许多奇异性质之一。从1926年1月27日到6月23日，奥地利物理学家薛定谔接连发表了6篇关于量子力学的论文，致力于用一个全新的数学量——波函数描述微观客体在时空中的定态和运动变化，并建立起相应的波动方程，以数学语言表达了在空间以特定形式传播或振动的波的性质，给出了波函数随空间坐标和时间变化的关系。求解这些偏微分方程得出的本征值就是量子化假设中的分立能级，对一系列实例得出了与实验相符的理论解。论文还分析了微观系统和宏观的关系，证实了这种波动力学与矩阵力学在数学上的等价性。还有一件事情值得一提：1924年，希尔伯特出版了《数学物理方法》，它恰好为第二年出现的量子力学预备了工具。在地球科学中运用数学方法，产生了计量地理学、数学地质学、数值天气预告等一系列研究领域与方法，并在地震预告、地球物理学、海洋学等方面发挥了巨大作用。此外，现代地球科学中还广泛采用了高速计算、高速通讯、高速自动资料整理、数值模拟等高科技方法，许多实质性的进展依靠于有关的数学理论与方法的发展。数学在地球科学中不仅已经显示出巨大的作用，而且必将产生更为广泛和深刻的影响。

19世纪末，挪威学者已将流体力学引入气象学研究，1922年理查森提出数值解法，但只有冯·诺伊曼等借助计算机与适当的数值方法才于1952年首次实现数值天气预告。与气象学一样，当前一系列科学与工程领域的发展都依靠于计算机与计算方法，这导致了大规模科学计算的迅猛发展。

为了勘探地形和地下矿藏，一种简便易行的方法是用飞机或人造地球卫星在飞航途中每隔一定时间拍摄一张照片，再将许多照片上的图像拼成一幅完整的大图。由于地面时有起伏，机身也难免时有倾斜，种种因素影响，每张照片都可能存在误差。摄影过程实际上是一个中心投影变换，将地面图景投影到照相底片的平面上。这两个平面假如不平行，底片上的图像就会变形，因而必须再通过中心投影变换把误差纠正过来，偏差多大角度就要纠正多大角度，这时就要应用射影几何知识进行精密的计算。

1967年，美籍法国数学家曼德尔布罗特（Benoit Mandelbrot，1924一）发表了《不列颠的海岸线有多长，统计自相似性和分数维》一文，其中首先注重到更早的理查德森（Richardson）已经作出的研究：测量海岸线时，假如测量过程越来越精细，那么海岸线就会显露出越来越多的细节，而测量结果就会变得越来越大，这意味着海岸线是无限长的。这一结论令人困惑。曼德尔布罗特把这一结果与周期为无限的曲线结构联系起来。此后，他于1977年出版了《分形：外形、机遇和维数》，标志着分形理论的正式诞生。这种探讨最初主要是纯粹数学意义上的，然而大量事实表明，分形在自然界中广泛存在着。在地球科学方面，十分引人注目的是分形地貌学的创立。分形地貌学是一门用现代非线性科学中的分形方法及原理研究地球表面起伏形态及其发生、发展和分布规律的新兴科学。以直线为基础的欧几里得几何无力描述大自然的真实面貌，而让位于以描述客观自然（如处处连续处处不可微的曲线）为己任的分形理论，分形地貌学也应运而生。

1998年，当时的美国副总统戈尔提出了“数字地球”的构想，成为近年来地球科学领域最引人注目的话题之一。通俗地说，所谓数字地球就是一个数字化的地球仪，它可以按照统一的地球空间坐标，将地球的自然地理信息、社会经济数据、人文信息等组织起来，构成一个具有多分辨率、多类型、多时项的三维地球数据集。这种数字地球可以提供普通地球仪无法提供的许多重要信息，使人们可以任意选择、逐级放大或缩小所感爱好的观察对象，可以快速而形象地了解地球上各种宏观、微观情况。实现数字地球的基本前提是计算技术的支撑。气象、海洋、地震、遥感、资源探测、环境、生态等各种数据，其数量都是大得难以想像的，必须借助电子计算机并运用强大的科学计算方法加以处理，以便从中得到有关地球的各种宏观和微观规律。

20世纪以来，数学在化学中的作用日益广泛和深入，不仅已经成为化学领域不可缺少的工具，而且由于数学与化学的结合，产生了许多交叉学科，如数理化学、化学动力学、量子化学、分子拓扑学、计算机化学等。当今化学由定性研究迅速向定量化研究的方向发展，与之相适应的数学及其算法不断出现。

群论是数学家们为探求五次以上一般高次方程的公式解而于19世纪创立的，如今它已在化学中获得了极为广泛的应用，如对分子对称性的研究，对分子振动的研究，对晶体结构的研究等，都使用了群论方法。此外，化学研究的需要也促进了群论中一系列相关理论与方法的发展。

20世纪80年代以前，人们认为碳只能以两种主要形式出现：金刚石和石墨。但是，数学家受到十二面体的旋转群启发，推测自然界有可能存在 ，因为在数学上它有十分稳定的结构。1985年，化学家与物理学家合作，造出了由60个碳原子构成的形如足球的 分子，引起了科学界的极大震动。后来科学家又发现了

拓扑学研究的是图形经过连续变形之后仍能保持的性质。分子拓扑学的基本依据是：尽管分子的几何参数（如原子间的距离、化学键的键角）能够测定，但由于存在着各种分子内的运动（如分子振动、内转动等），原子在分子中的位置是不固定的。同时，分子的几何性质也受到四周环境不可忽视的影响，例如在溶液情况下溶剂的影响，在晶体情况下压力的影响等。由分子内运动和由各种外部影响所引起的分子几何性质的改变，只要没有化学键的破坏与形成，就可以看做连续的形变，此时，分子中原子间相互关联的性质保持不变。分子中原子相互连通的全部信息确定了分子的拓扑性质。20世纪60年代，拓扑学已经被广泛地应用到化学领域，讨论配位络合物、平面不饱和碳体系的金属复合物、金属原子簇化合物和硼氢化合物等。人们越来越清楚地熟悉到拓扑性质是分子的重要性质。此后，关于分子结构的拓扑理论进一步发展起来，分子电荷分布的拓扑性质、分子结构的稳定性、分子结构变化的数学模式、化学键的拓扑理论、核势能与能量之间的拓扑关系以及分子体系势能面的拓扑性质等都逐渐建立，进而形成了一门以研究分子的拓扑性质及其应用为主要内容的分子拓扑学，并已成为分子结构和分子动力学理论的重要组成部分。

19世纪后期，恩格斯曾指出，数学在生物学中的应用等于零。20世纪以来，数学出人意料地与生命科学紧密地联系在一起，其结果是：在数学中出现了一个十分活跃的应用数学领域——生物数学；在生物学中则出现了数学生物学的庞大体系。简单地说，生物数学主要是指用于生物科学研究中的数学理论和方法，包括生物统计学、生物微分方程、生态系统分析、生物控制、运筹对策等；数学生物学主要是指生物学不同领域中应用数学工具后所产生的生物学分支，如数学生态学、数量生理学、数量遗传学、数量分类学、数量生物经济学、传染病动力学、数理医药学、分子动力学、细胞动力学、人口动力学，以及神经科学的数学模拟等。今天，数学几乎触及到生物学的每个领域。数学生物学是今天应用数学最振奋人心的前沿之一，它充分显示了数学的威力和多方面的适用性。这些数学工具帮助人们把生物学研究推到了科学的前沿——了解生命和智力。

DNA分子是生物传宗接代的主要物质基础，它是遗传信息存储的基本单位，许多有关生命起源的重大问题都依靠于对这种非凡分子的性质的深入了解。因此，关于DNA分子的结构与功能问题，几十年来一直吸引着许多生化学家和遗传学家们的注重。最近十几年来，科学家们越来越清楚地熟悉到，DNA分子的三维空间的拓扑构型对它在细胞里如何发挥其功能有重要影响。

借助数学模型方法，数学生物学家们解释了为什么处于哺乳动物体积分布谱两端的大象和老鼠身上的颜色比较均匀一致，而不太大也不太小的动物（如斑马、金钱豹等），它们身上的花纹就会很不平常。数学模拟可以解释为什么世界上有身上是斑点、尾巴是条纹的动物，却没有身上是条纹、尾巴是斑点的动物。例如，金钱豹的尾巴太细，使斑点都合并成了条纹。在当代，数学模型被广泛应用于生理学领域，例如心脏、肾、胰脏、耳朵和许多其他器官的计算模型。近年来，随着计算技术和数值算法的迅猛发展，人们已经能够充分具体地模拟人体流体动力学功能并运用于熟悉和治疗疾病。数学模型还使高速计算机在药物成分设计和染色体组织的分析方面得以广泛应用。

X射线计算机断层扫描仪（简称CT）的问世是20世纪医学中的奇迹，被认为是放射医学领域的一次革命性突破。其原理是基于不同的物质有不同的X射线衰减系数。假如能够确定人体的衰减系数的分布，就能重建其断层或三维图像。但通过X射线透射，只能测量到人体的直线上的X射线衰减系数的平均值（是一积分）。当直线变化时，此平均值（依靠于某参数）也随之变化。能否通过这个平均值求出整个衰减系数的分布呢?人们利用数学中的拉东变换解决了这个问题，如今拉东变换已经成为CT理论的核心。首创CT理论的A.M.科马克及第一台CT制作者C.N.洪斯菲尔德因而获得了1979年诺贝尔医学和生理学奖。另外，20世纪80年代后期兴起的磁共振显像（MRI）的主要技术之一也是数学方面的，它以19世纪发展起来的傅立叶变换的快速精确的反演为主要特征。

医学中应用数学方法的另一个典型例子是计算机数值诊断，即利用数学的信息理论、数据处理技术以及电子计算机这个强有力的工具，对病患者的症状表现和各种化验和检验指标进行数学加工分析，作出疾病的定量诊断结果。临床诊断是医生根据自己的经验和理论知识的推理作出最有可能的判定，诊断的准确性与医生本人的经验和知识水平有着直接的关系。而数值诊断则不然，它依靠于大量的历史诊断记录和对这些资料的数学处理方式。已诊断的病例越多，症状资料越具体，处理方式越得当，就越能得到较确切的诊断结果。

随着科学技术的进步，虽然单个元部件的可靠性不断得到改善，但是各类系统日趋复杂，要求它完成的功能也更广泛。单个元部件失效引起整个系统失效的代价越来越昂贵，会在经济上、信誉上造成巨大损失，有时还会造成人员伤亡及政治上、心理上的严重后果。例如，1986年1月28日，美国“挑战者号”航天飞机在起飞后73秒忽然爆炸，7名宇航员不幸遇难。当时的美国总统里根立即任命了以前国务卿罗杰斯为首的总统调查委员会，经过历时4个月的详尽调查，确认造成灾难的技术上的直接原因是：航天飞机右侧固体火箭助推器连接处的“O”形合成橡胶密封圈，由于发射时气温过低而变硬，失去密封作用，导致外挂燃料箱的燃料渗入助推器点燃，最终起火爆炸，造成了这一举世震动的悲剧。实际上，像大型客机、核电站、宇航系统、军事指挥系统、大型计算机等都要求有极高的可靠性。如何正确估计大型系统的可靠性，是个重要的实际问题。研究在各种措施下每个系统的概率规律性、可靠性程度、在给定时间内的失效数，以及在给定条件（如投资额、体积、质量等）下应采取怎样的措施使系统可靠性达到最大的数学理论，称为系统的可靠性理论。

现代社会是信息化的社会，信息的获得、存储与传递都是十分重要的问题，而密码则是一种独特而重要的信息传递方式，其重要性在军事对抗、政治斗争、商业竞争等涉及不同利益集团的对抗或竞争中是不言而喻的。一方面是有效地在我方内部迅速准确地传递各种信息而不被对方破译，另一方面是寻找破译对方信息的有效方法。因此，密码学的研究一直是世界各国政府和军方非凡关注的。此外，密码学在控制论、语言学、分子生物学等领域也有着重要的发展前景。现代密码学中几乎布满了数学，代数学、数论、组合数学、几何学、概率统计以及一些较新的数学分支，如信息论、自动机理论等，都对密码学的发展作出了贡献。近年来，计算机科学（尤其是算法论与计算复杂性理论）更对密码学产生了深刻的影响。

1976年11月，美国斯坦福大学的两位电工学工程师迪费和海尔曼发表了论文《密码学的新方向》，用他们提出的陷门单向函数发明了公开密钥码体制。传统的保密密钥码，其加密过程与解密过程是对称的，加密密钥与解密密钥是相同的。陷门单向函数 由一个重要性质：仅由已知的计算 的算法，要想找出计算其反函数 的轻易算法非常困难，从而实际上是不可能的。这样就可以用 作加密密钥并将其公开，用它的反函数 作为解密密钥并严格保密。利用陷门单向函数，就可以构成如下的公开密钥码体制：有一个部门，下设A，B，C，…若干机构，各机构均有自己的陷门单向函数，分别为 ， ， ，…各函数的算法分别作为各部门的编码（加密）方法而公开，诸 ， ， ，…的轻易算法，作为解密密钥是保密的。这样，部门中的任一机构（包括部门外的机构）都可给其中的一个机构发保密信。例如，B向A发保密信，方法是：设B向A所发的明文为n，代入A所公开的 ，得 ＝m，m即为密文，由于只有A知道 的轻易算法，可由 ＝ 脱密。部门内的各成员可以彼此发签名信，例如B给A发签名信，方法是：先用 对明文n加密得 ＝m，再用 对m加密得 ＝t。A收到t后，由

近年来在通信事业中发展起一门新的科学——安全技术，包括消息认证和身份验证两个方面。消息认证是检查收到的消息是否真实的一种手段，应用十分广泛。例如，证券交易所和股票市场都离不开消息认证；在当今通信事业以及军事指挥中心、军事监听机构中都要有很好的消息认证系统，以使受假消息影响的程度为最小。身份验证是检验消息的来源（发信者）是否正确，或者传递的消息是否到达正确目的地（收信者）的方法。例如，假如你拥有一个计算机网络的终端设备，就不但可以随时查到你所需要的资料或信息，而且可以解决许多实际生活中的问题，如预订机票、市场购物、银行转账等，甚至可以通过计算机网络签署文件。使用计算机网络进行这些活动时，都需要将自己的身份告诉对方。为了使对方能确认你的身份是真实的，就需要相应的身份验证方法。日常生活中，在信件上签名是很普通的事，但要通过电子通信手段在遥远的异地完成签名就不轻易了。这种通过电子通信完成签名的手段称为数字签名。前面介绍的发签名信的办法就是实现数字签名的一种有效方法。数字签名首先是一种消息认证方法，另一方面，在通信双方发生争执时，又可由仲裁者进行公正裁决，因此它又是一种身份验证方法。

虽然在今天，电子计算机已经渗透到现代社会的每个角落，但它最初却是为了军用目的发展起来的。计算机具有运算速度快、记忆容量大、逻辑判定能力强、计算精度高、自动化程度好等优点，因而从一诞生起就受到了军事家的青睐，被广泛用于侦察、预警、指挥、通信、兵器控制、导航、定位、电子对抗、作战模拟和各种保障等方面。由于计算机技术的进步和数学算法的巨大改进，已可能用数学模型来代替许多试验，结果大大节省了成本，提高了设计的质量。这对于武器的研制非凡重要，因为若进行具体的试验，不但既费钱又危险，而且在初期阶段实际上是无法办到的。例如，假如有一天世界全面禁止核试验，把握了强大计算技术的国家仍然可以借助在以往核试验中获得的数据在计算机上进行模拟核试验，即使在核试验尚未被禁止的情况下，模拟试验也可以用来选择最佳试验方案，从而减少试验次数、节省大量投资和时间，并提高设计水平。显然，实现计算机模拟核试验的关键问题是相应的数学理论与方法是否已经建立。

模拟装置在一些发达国家的军队中使用已久，非凡是随着最新技术的发展，使军队可以把军事演习、实战演习和微观模拟融于一体，创造出一种高度逼真的模拟世界，使士兵如同置身于实战战场，从而获得最佳的演习效果。模拟装置有许多种，能适应各种不同的练习需要。虚拟模拟器，能模拟飞机和坦克的驾驶舱，可以在无需高成本和长时间实际练习的情况下向学员传授基本的操作技术。实战模拟，能控制在所需的范围内，使成千上万的真实士兵在虚拟的战场上用实战武器相互射击，武器中发射的是不会造成伤害的激光束或雷达波。结构性模拟，是一种专为高级指挥官设计的微观军事演习，它们基本上是电脑辅助的对弈，是一种可以取代大规模军队行动的软件计算。

随着高科技的发展，一些国家的军事科技人员发现，假如将计算机病毒的破坏和繁殖功能与“逻辑炸弹”的潜伏性结合起来，加上人工智能设计一种病毒程序，便可以造出更灵巧的病毒武器，它们既能够破坏特定目标，又可避开防毒程序。特制的计算机病毒武器能够有效地破坏计算机系统或者使之发生误差，在军事上可用以破坏敌方的指挥、通信与控制系统，用于识别导弹发射、控制弹道和提供情报的战略计算机系统等。在1991年的海湾战争中美国就对伊拉克使用了计算机病毒武器。

20世纪70年代以前，飞行器设计所依靠的数据都是靠风洞模型试验得到的。非凡是高性能飞机，过去通常主要用风洞试验以及类似的试验来设计，然后建造一个模型，由试飞员去试飞，这不仅周期长、费用高，而且相当危险。20世纪70年代后期，这种情况有了改变。由于电子计算机技术的飞速发展，非凡是高速巨型计算机的出现，使得计算结果极其精确，导致计算流体力学的诞生。计算流体力学研究如何对各种类型流体（气体、液体和非凡情况下的固体）在各种速度范围内的复杂流动，用大型计算机进行数值模拟计算。它涉及用计算机寻求流动问题的解和计算机在流体力学研究中的应用这两方面的问题。在当代飞行器的设计中，计算流体力学、风洞试验和自由飞行一起构成了获得气动数据的三种手段。虽然风洞试验仍是一种主要方法，但建造风洞的费用很高，而且有一定的局限性。随着现代高速飞行器设计的需要，试验的花费就更加巨大。如今，数值模拟方法已代替了许多试验，因为在大多数情况下采用这种方法不仅可以大大缩短周期、降低费用、提高安全可靠性，而且具有轻易改变参数重复计算的特点，这对于已有模型的微小改动工作（改型设计）尤为重要。

1994年4月9日，美国波音飞机制造公司的最新产品波音777双引擎中型喷气式客机在波音公司宽体客机总装厂首次露面。这种投资40亿美元的世界最大双发动机客机从设计到制造尽量采用新技术、新材料，不用一张图纸，不做一个模型，在世界航空工业史上首次百分之百地采用计算机数字设计和模拟组装。这种被称为“百分之百数学化设计的飞机”，由于在设计和试验过程中全面采用了数学技术，高性能新机种的研究周期从十年缩短到三年多。由于全面使用虚拟制造技术，波音公司在没有样机的情况下就敢于接受来自新加坡的波音777的第一批订单。

科学技术的飞速发展及其在社会发展中的重要地位，对公民的科学素养提出了更高的要求，而科学、技术与数学的关系，使得数学素养成为公民基本素养不可或缺的重要部分。这一熟悉，必将对基础教育中的数学课程体系和内容产生重大影响。

二、数学与当代入文社会科学

1971年2月，美国哈佛大学的卡尔·多伊奇和他的两个同事在美国《科学》杂志上发表了一项研究报告，其中列举了1900～1965年间在世界范围内社会科学方面的62项重大成就，按照他们的选择标准，包括：心理学13项，经济学12项，政治学11项，数学11项，社会学7项，哲学、逻辑和科学史5项，人类学3项。其中，政治学的11项中包括了列宁的“一党领导下的革命理论”“一党制的苏维埃国家”，毛泽东的“农民、游击队和政府”这样三项；经济学中包括了苏联克拉申等人的“中心计划经济”；心理学中包括巴甫洛夫的“条件反射”。这表明上述所列社会科学的重大成就确实具有普遍的代表性。在这62项成就中，数学化的定量研究占2/3，在1930年以后作出的重大成就中，定量研究占5/6。这表明了当代社会科学向数学化、定量化方向发展的趋势。

以下是利用简单数学方法解决社会科学难题的一个典型案例。问卷调查是社会科学中最常用的方法之一，有时候研究人员需要借助这种方法精确地测定持有一种特定信念或经常介入某种具体行为的人所占的百分比。这种调查要求从随机挑选的一个人群中得到对他们所提问题的老实回答。但是由于被调查者经常出于个人隐私等方面的考虑而不愿意对采访者如实地作出应答。问题的关键是既要收集到真实有效的信息，同时又能确保被调查者的隐私不受侵犯。20世纪60年代，人们基于初等概率论发明了一种调查方法，从而解决了这一难题。这种方法要求人们随机地选答所提两个问题中的一个，而不必告诉采访者回答的是哪个问题。两个问题中有一个是敏感的或者可能会使人为难的话题，另一个是无关紧要的问题。例如，无关紧要的问题是：“你刚才所掷的硬币是正面朝上吗?”敏感的问题是：“你是否每星期至少吸毒一次?”然后要求应答者掷两次硬币，第一次的结果作为第一个问题的答案，再根据第二次掷硬币的结果决定回答哪个问题。由于两次掷硬币的结果都只有被调查者本人知道，因此他可以老实地回答选中的问题而不必担心暴露个人隐私。假设我们把这种方法用于1000个应答者并得到300个“是”的回答，因为掷硬币正面朝上的概率为1/2，我们期望大约有500人回答了无关紧要的问题，其中大约有一半人（250人）第一次所掷硬币正面朝上，回答了“是”。因此，在回答敏感问题的500人中大约有（300—250＝）50人的回答是“是”。由此我们估计这群人中大约有10％的人每星期至少吸毒一次。

目前，在传统的社会科学领域中，经济学是最成功地实现数学化的学科，成就令人瞩目。自1969年设立诺贝尔经济学奖以来，超过2/3的获奖者是由于在经济学领域运用数学方法获得重大突破而获奖的。微积分学、集合论、拓扑学、实凸分析以及概率论，在研究和表达经济理论方面都起了重要的作用。很多数学家惊奇地发现，极其抽象的拓扑学最有用的地方竟是在经济学领域。数学在经济学中的应用，产生了包括数理经济学、经济计量学、经济控制论、经济猜测、经济信息等分支的数量经济学科群，以致一些西方学者认为：当代的经济学实际上已成为应用数学的一个分支。

现代数理经济学研究数学概念和数学技巧在经济非凡是在经济理论中的各种应用，例如最优经济效果、利益协调和最优价格的确定这些基本理论问题，为经济计量学、治理科学、经济控制论提供模型框架、结构和基础理论，可以说是经济学的基础之基础。其中一些基本问题是从经济学中提出的，但深入研究则是从数学的角度进行的。其核心内容之一是用一种规范化的方法研究一般均衡理论，使用的数学工具主要是集合论、群论、拓扑学，其学术文献完全是公理化的，从一套公设、假定、定义出发，导出一个严谨的公理化体系。在数理经济学中，一般经济均衡理论一直是活跃的前沿研究课题。自1969年开始颁发诺贝尔经济学奖以来，已有多位经济学家因在这一领域的建树而获奖。

1936年，W.列昂杰夫发表了题为《美国经济系统中投入产出的数量关系》的论文，创立投入－产出分析法，用数学模型和数值方法研究生产单位和消费单位之间的相互关系，并可用以说明不同生产部门之间的相互关联，由此可以进行经济前景猜测和制定经济计划。他的模型是矩阵结构的一种线性模型，在概念上非常简单而又足够精细，对实际制定计划很有帮助。1973年他因此而获诺贝尔经济学奖。

各种冲突、对抗、竞争，广泛存在于政治、商业、军事、体育比赛等各项事务之中。对策论是运筹学的重要分支，最早研究的问题是对抗或竞争中的各方所应采取的策略以及由此得到的结果，并给出策略优劣的分析。研究方法是：先构造出所论冲突的数学模型，然后用数学方法加以分析、比较、计算，根据所得结果对原来所论冲突作出相应的解释。对策论诞生于1927年，由大数学家冯·诺伊曼创立。冯·诺伊曼熟悉到经济与政治中的某些决策条件在数学上与某些策略对策等价，所以从分析这些对策中所学到的东西可以直接应用于现实生活中的决策。

1986年，荷兰数学家施达灵发表了题为《委员会选举的两个悖论》的文章，其中给出了关于选举的两个有趣的悖论：

一个众所周知的选举程序答应每个选民拥有与委员会中有待补充的缺额同等数量的投票权。这种被普遍使用的、用以处理两次相继选举的空缺的程序，可能导致某些希奇的现象。考虑这样的情形：有12位选民（编号从1到12），他们要从9位候选人（A至I）中选出一个委员会，在只有两个空缺需要补充时，每位选民投票给对他（她）来说排在最前面的两位候选人。当每位选民对于候选人的个人偏好如下表所示时，投票总数将有如下结果：候选人A和B都获得四票，而H和I各得三票，其余候选人每人均得两票。因此，A和B将当选。

选民

偏好顺序

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

高↑

低↓

A

F

C

H

A

F

C

H

A

G

C

H

B

G

D

I

B

H

D

F

B

H

D

F

C

H

E

F

C

I

E

G

D

I

E

G

D

A

F

I

E

B

G

I

E

I

G

A

……

……

……

……

……

……

……

……

……

……

……

……

然而，假如有三个而不是两个空缺，那么每个选民就必须投三票。结果被选上的将是C，D和E，因为他们每人都将获得五票，而其余每个候选人都只获得四票或三票。类似的计算导致这样的结论：假如有四个空缺，那么既没有二人委员会中的成员、也没有三人委员会中的成员能够当选。事实上，当选者将是F，G，H和I!

因此，这被概括为“扩大委员会悖论”：一个候选人可以被选进一个由N个成员组成的委员会，而当这个委员会由（N＋1）个成员组成时他却未必能够当选。事实上，N人委员会与（N＋1）人委员会的成员可能毫无关系。

当委员会的一个已当选的成员在两次相继的选举期间退出了，就可能发生第二个现象。通常，在发生这样的事情时并不进行实际的选举，而是简单地指定在上一次选举时票数仅次于最后一名当选者的候选人入选。这似乎是合理的，但是，假设有12位选民，他们要从5位候选人中选出一个由两人组成的委员会。每位选民对于候选人的个人偏好如下表所示。假如每位选民必须投两票，投票结果是，委员会将由A（获得12票）和B（获得5票）组成。候选人C（得3票）以及D和E（均得2票）将不能当选。假如几天后A退出了委员会，而且所有选民对候选人的个人偏好保持原来的状态，一轮新的投票将导致获胜者是D和E，各得8票。然而，指定第一次选举时票数仅次于最后一名当选者的候选人以代替离任委员A的程序，将导致候选人C当选。于是委员会将由B和C组成，而不是D和E.这就是“离任委员悖论”：在有一名已当选的委员退出委员会（因此，他也不再是候选人）时指定第一次选举时票数仅次于最后一名当选者的候选人当选的程序，可能将产生一个这样的委员会，它与假如选民有机会再次投票而将产生的委员会毫无关系。

选民

偏好顺序

1，2，3，4

5

6，7，8

9，10

11，12

高↑

低↓

A

B

E

C

D

A

B

D

C

E

C

A

D

B

E

D

A

E

B

C

E

A

D

B

C

那么，能否设计这样一种社会选择规则，它可以应用于一切环境条件而不会产生上述那样的悖论呢?20世纪50年代，美国学者阿罗用数学方法证实了闻名的“不可能性定理”，其中指出，不论怎样精心设计，都不可能找到这种规则。换言之，当我们把一些现实的政治操作过程抽象为数学模型，并用严格的逻辑论证工具进行推演后就会发现：一个绝对公正合理、使各方面都感到满足的政治模式是不存在的。

不难看出，数学方法在合理地设计各种政治系统并保证其正常运作方面有着至关重要的作用。20世纪中叶以来，西方出现了许多运用系统分析方法或结构功能分析方法研究各种政治系统的论著。许多西方学者认为，寻求合理的民主控制方法、建立有效的政治协商机制本质上是一个很困难的纯数学问题。

在当代治理科学中，正越来越多地使用着各种数学方法，其中运筹学方法的广泛而深入的应用尤为突出。运筹学是在第二次世界大战中为进行作战研究而发展起来的一门应用科学，其中的理论和方法在战后被广泛应用于各种民用领域，成为一门主要运用数学和计算机等方法为决策优化提供理论和方法的学科。

数学方法进入历史科学领域，导致了计量史学的诞生。今天，数学方法的运用正在极大地影响着历史学家观察问题的角度、思考问题的方式以及运用文献资料的方法，影响着他们对原始资料的收集和整理，以及分析这些资料的方向、内容和着眼点。因此，数学方法的运用为历史研究开辟了许多过去不为人重视或不曾很好利用历史资料的新领域。数学方法的运用使历史学趋于严谨、精确，它不仅使研究课题、基本论点、论证过程以及研究结果的表述更加清楚准确，而且对于研究结果的检验也有重要意义。然而，运用数学方法最重要的意义看来在于，它有可能解决使用习惯的、传统的历史研究方法所无法解决的某些难题。数学方法的运用使历史学研究的对象从传统的以个人为中心的政治史向以大众和过程为主体的总体史或综合史的转移成为可能，并开辟了史学研究的新领域。

从19世纪中叶开始，许多数学家和语言学家进行了用数学方法研究语言学问题的实践，获得了许多重要结果。20世纪中叶电子计算机刚刚发明，人们就开始了用计算机进行机器翻译的尝试，从而需要对构词法和句法进行分析研究，数学方法的引入，极大地推动了这些研究向精确化、算法化的方向发展。此后，对计算机高级程序语言的研究，对语音的自动合成与分析的研究，以及文字识别计算的进展，都大大促进了数学和语言学的结合，形成了一门新兴学科——数理语言学。数理语言学用数学方法研究语言现象，并加以定量化和形式化的描述，既研究自然语言，也研究各种人工语言（如计算机语言）。它包括三个主要分支：①统计语言学，或称计量语言学，主要工作是应用统计程序来处理语言资料，如统计语言单位（音素、字母或词汇项）的出现频率；研究作者的文体风格（计算风格学）；在比较语言学中采用数学公式，衡量各种语言的相关程度；在历史语言学中确定不同时期语言发展的特征；用信息论观点分析语言信息的传输过程等等。②代数语言学，或称形式语言学，它对传统的语言学概念进行严格的逻辑分析，借助数学和逻辑学方法提出精确的语言模型，运用形式模型对语言进行理论上的分析和描写，把语言学（或它的某个方面）改造成为现代科学的演绎系统，使之适于用计算机处理。③算法语言学，它把语言看做由一系列层次组成，各层次本身都有一定的结构形式，各层次之间都有一定的对应关系。它把底层（如音位、词序、形式语句）结构作为一种抽象的符号系统来处理，通常采用图论中的树形图作为分析表达工具，以便从表面的语言现象中挖掘出它的潜在本质，以解决一些形式语言学难以解决的问题。数理语言学中使用了概率论与数理统计、数理逻辑、集合论、图论，以及信息论方法、公理化方法、数学模型方法、模糊数学方法等一系列数学理论与方法，取得了许多出人意料而又令人叹服的研究结果。例如，使用计算风格学方法，确认了肖洛霍夫就是《静静的顿河》的原作者，解决了苏联现代文坛的一大疑案；使用这一方法在对《红楼梦》的作者和成书过程等问题的研究上也得出了许多有价值的结论。

现代军事科学研究中广泛应用了数学中的蒙特卡罗方法。例如，用蒙特卡罗方法可以建立战斗的概率模型，从而可以在实战前对作战双方的军事实力、政治、经济、地理、气象等因素进行模拟，但这些因素可能随时发生变化，假如在计算机上进行“战斗”模拟，计算机就可以在很短时间内把一个很长的战斗过程模拟下来，告诉我们可能的结果。这样，军事指挥人员就可以进行成千上万次的战斗模拟，从中选择对自己一方最有利又最稳妥的作战方案，赢得战争的胜利。这相当于用计算机进行大规模的军事演习。现在世界上已有不少国家采用这种模拟方法，并在实际战争中取得了成功。

在当今的军事理论和国防战略研究中，使用了许多复杂的现代数学理论与方法。例如，1991年1月美国对伊拉克实施“沙漠风暴”行动前，美国曾严厉地考虑了一旦伊拉克点燃科威特的所有油井将会造成的后果。据美国《超级计算评论》杂志披露，五角大楼要求太平洋一赛拉研究公司研究此问题。该公司使用偏微分方程理论和数学模型方法，在进行了一系列模拟计算后得出结论：大火造成的烟雾可能导致一场重大的污染事件，它将波及波斯湾、伊朗南部、巴基斯坦和印度北部，但不会失去控制，不会造成全球性的气候变化，不会对地球的生态和经济系统造成无可挽回的损失。这样才促使美国下定决心。

将战术的基本规律抽象出来，用数学方法演绎出一套理论和战术原则，形成了数理战术学。它运用数学方法对作战过程中最本质的内容作抽象的描述与处理，例如将双方指挥员看做“理智的”（即都为实现各自的最大利益而努力），将作战目的抽象为目标函数，将交战和伤亡过程用微分方程、差分方程和随机过程的方式加以描述，从而建立起公理化的数学模型，并在此基础上进行科学演绎。

数学在艺术领域的应用也获得了许多出人意料的重要结果。

20世纪40年代初，美籍乌克兰作曲家希林格（1895—1948）在音乐理论上提出了一套新的创作原则。他认为，形式具有联想的潜能，从而可以建立审美感知的意义。一切艺术均可分解为其物理存在的形式，而形式是可以用数量来测量的。按照这一观点，音乐形式与数学有关，在得出其中的数学规律后，创作就可以通过纯数学方法来完成，也就是说，可以用各种数学符号、方程或图式、表格来进行创作，将音高、时值、力度、速度、音色等方面都纳入数学计算的体系中。希林格认为，作曲可以从音乐的任何要素出发，先肯定某个要素的设计（称为主要成分），然后再将其他要素（次要要素）结合进去成为主题。这种音乐体系称为全面序列音乐，或序列音乐，或者干脆就称之为数学作曲体系。20世纪50年代初，这种流派的音乐在西方音乐界开始流行，代表作曲家有法国的布列兹、梅西安，德国的斯托克豪森，意大利的诺诺等。这种曾在西方轰动一时的作曲体系虽然很快就被遗忘，但随着计算机技术的发展，在新兴的计算机音乐中它又明显地产生着影响。

随着电子技术的进步，电子音乐发展了起来。电子音乐凭借的是一系列电子振荡器提供的基本波列，再经过滤波、放大、调制等手段进行合成。它突破了具体乐器的限制，不再受波动方程的约束，从而大大扩大了音响范围。不过，无论多复杂的电子乐器，其组合的可能性仍然是有限的，在制造这种电子乐器时已对其作了限定。正因为如此，科学家与音乐家仍感到不满足，计算机技术的发展给他们带来了希望。借助计算机产生的音响，既不受乐器构造的束缚，也不受事先给定的电子振荡器的限制。在计算机的帮助下，人们可以得到所希望的任何音高和音色的声响，于是计算机音响技术应运而生。它的基本原理是借助数字处理方法给出所需声波的数学描述，再将其转化为声波。在计算机音响的基础上又发展出计算机作曲，其基本思想是把音乐看做乐符的某种组合与变换，首先将约束条件（理论规则、要求的特点）输入计算机，再让它依此进行音响组合。具体来说，是作曲家首先作出预定的要求，然后将需要的音高、时值、音色、力度、速度和节奏等都编好程序，然后由计算机依此进行音响组合，再用计算机程序卡把组合结果转为电信号，最后将电信号记录在磁带上，通过输出设备和音响设备放出。

20世纪，西方出现了一系列深受数学思想方法影响的美术流派。康定斯基在《关于形式问题》一文中指出：“今天，在探索抽象关系的过程中，数的作用尤其突出。每一条数学公式都是冷酷无情的，俨如一座冰峰；并且作为最严密的必然规律，它又仿佛是一块大理石。……由于企图找到一种公式来表现构图，产生了所谓的‘立体主义’。”

1979年，美国数学家D.R.霍夫施塔特以他的《哥德尔，埃舍尔，巴赫：一条永恒的金带》一书轰动了美国。K.哥德尔（Godel，1906—1978）是20世纪最伟大的数学家之一，也是亚里士多德、莱布尼茨以来最伟大的逻辑学家。哥德尔的理论改变了数学发展的进程，触动了人类思维的深层结构，并且渗透到音乐、美术、计算机和人工智能等领域。M.C.埃舍尔（Escher，1898—1973）是当代杰出画家，他的一系列富有聪明的作品体现了奇妙的悖论、错觉或者双重含义。J.S.巴赫（Bach，1685—1750）是最负盛名的古典音乐大师。这本书揭示了数理逻辑、绘画、音乐等领域之间深刻的共同规律（非凡是奇妙的怪圈），似乎有一条永恒的金带把这些表面上大相径庭的领域连接在一起。

如今三维电脑动画已经变得十分普通，其理论基础首先是数学。一般说来，用计算机产生美术图形的基本步骤是：①读入一个传统美术图形库。②利用艺术家的预编程序的规则，使计算机随机操纵库中的数据，以产生美术图形。③产生输出，把图形显示在一个图形显示终端上。④为艺术家提供一种选择，答应对计算机产生的美术图形作特定的变动或转换。这种类型的试验可以产生出艺术家和计算机的联合作品，艺术家或计算机都无法单独产生这种作品。计算机艺术是数字化的艺术，为了在计算机上产生图形，需要几何表示、代数编码和计算机算法之间的大量理论性的相互作用。在这一领域，数学中的分形理论与方法发挥了极大的作用，它不仅使计算机完成的作品可以极为逼真地再现现实世界的各种景象，而且可以轻易地构造出各种令人叹为观止的出色构图。在计算机图形学的基础上发展出虚拟现实技术，它可以使人们对虚拟世界产生真实的感受，如虚拟建筑物漫游、虚拟手术、虚拟飞行等，这一技术可以直接用于飞行员、宇航员、外科医生的培训。

三、数学与经济发展

世界经济的发展如同科学技术的发展一样，带动着整个社会前进。现代社会经济发展的一个重要特征也是定量化。定量化成为描述各种经济现象的一个必不可少的手段和工具，一个国家的失业率、就业率、国民生产总值等，无一不是用数学手段刻画的。如同数学在科学技术发展中所起的作用那样，数学也决定着一个国家或部门的经济竞争力，为国家提供了参与竞争的学问。好的经济工作者决不只是定性思维者，他们不仅能进行定性的分析，同时还必须把握对经济现象进行定量描述与分析的科学方法。数学科学不仅帮助人们在经营中取得效益，而且给人以能力，包括直观思维、逻辑推理、精确计算以及结论的精确无误，这些都是精明的经济工作者所应具备的素质。

计划经济向市场经济的转化，给我国经济生活带来了巨大的变化，经济行业的经营者们要对投资、贷款、市场猜测、风险评估、成本、利润、投入、产出等一系列经济活动有很好的把握，包括信息的收集、整理分析，可以说，一个好的工商业经营者，假如他不能对经济活动的规律作出正确的分析，那么他将难以应付复杂变化的经济现象。而这些定量分析方法的把握、对经济规律正确分析的能力的获得，都将源于对数学知识、思想方法的了解和把握。

20世纪以来，数学在经济发展中发挥着越来越大的作用，而这种作用却经常不为人们所了解。例如，电子计算机在当今经济发展中的作用尽人皆知，但很少有人意识到数学在其中的关键作用。此外，我们在前面所举的很多例子，实际上都产生了巨大的经济效益，推动了社会发展，例如，数值天气预告、系统可靠性分析、高清楚度电视的开发、飞机外形设计等。核武器研制中的计算机模拟，极大地节省了研究开支和时间，提高了设计水平，暂且不论其巨大的军事价值，其中的经济效益也是十分显著的。

关于数学方法对经济发展的巨大作用，自20世纪80年代以来国内外已有许多文献加以论述，比较有代表性的包括：美国国家研究委员会1984年的报告《美国数学的现在和未来》、1990年的报告《振兴美国数学》以及1991年的报告《数学科学·技术·经济竞争力》，王梓坤院士代表中国科学院数理学部所写的报告《今日数学及其应用》，石钟慈院士《第三种科学方法——计算机时代的科学计算》，张奠宙教授《数学的明天》等。

在人类进行的各项活动中，要做成一件事情，往往要受到各种主客观条件的限制，一个自然的想法是：如何在现有条件下以最小的代价获得最佳效果。这就是通常所说的优化问题，相应的数学方法就是优化方法。假如优化问题中的主客观条件（约束条件）和要实现的目标（目标函数）都可以表示为线性函数，那么对应的优化问题就称为线性规划问题。这类问题虽然简单，但却是各项经济活动中最为常见的，经济、工业、国防、城市规划及交通运输等领域中都有大量的线性规划问题。从理论上看，解决相应的数学问题并不困难，但实际需要解决的问题往往规模巨大。例如，国家猜测中心曾经建立过一个“国家宏观经济最优控制模型”，包含3 582个方程，由1 520个方程构成一组26维的状态方程，39维联立方程构成系统的输出方程，760个控制变量，1 660个约束条件。它的解可以用来优化国民经济发展速度，分析和优化国民经济各部门结构和重大比例关系变化趋势，分析人民生活水平的提高和消费结构的变化，因而是极为重要的。但假如没有超大规模的科学计算能力，要解决这样的问题是难以想像的。1947年美国数学家丹齐格提出了求解线性规划问题的单纯形法，成为求解线性规划问题最主要的有效算法。它后来被认为是20世纪经济效益最大的计算方法。

众所周知，在现代社会，治理水平的提高一直是经济增长、社会发展的重要因素，其中数学方法的运用已经相当普遍。例如，美国联合航空公司每年都有相当一批涡轮叶片要修理，假如去买新的，则叶片型号多，不一定能及时买到，而提前购买大量备件，又会占用相当多的仓储和流动资金。于是公司计划人员考虑自己建一个叶片制造厂，需要投资1 500万美元。为了从投资、库存和生产周期的角度分析建一个新厂是否更好，专业人员提出了一个数学模型，包括各种叶片损坏的概率、这些坏叶片的来源和修理点的分布，建一个新厂的生产进度等因素，最终表明建新厂是必要的。工厂建成后，他们又利用实际运行数据做进一步仿真，提高了整体运行效率，为公司节约了几亿美元的开支。1991年，美国国家研究委员会发表了一个题为《数学科学·技术·经济竞争力》的报告，在关于生产周期的一章中研究了数学在以下各方面的应用：经济计划、仿真、质量控制、存货治理、销售、维护和修理。可以说，没有数学科学就没有现代的生产治理。

1998年4月，美国商务部公布了一项研究报告《浮现中的数字经济》，在深入分析数字革命、互联网、电子商务的特点以及信息技术对经济的影响的基础上，对正在兴起的数字经济提供了大量具体的论证和案例。信息技术产业在国民经济中的份额不断增加，质量迅速提高，价格持续下降。信息技术产业对总体经济的带动不仅比传统技术和产业作用大，而且在整个高新技术产业群中的作用也是首屈一指的。据美国商务部估计，1996年和1997年，美国信息技术产业价格下降使整个经济的价格指数下降了1个百分点，而在此前几年中，美国实际经济增长中信息技术产业的贡献平均超过了25％。信息技术产业从性质上大体可分为装备制造业和信息服务业，从内容上可分为通信业、计算机业和传播娱乐业，计算机和互联网在其中的关键地位日益凸显，所谓的数字革命更是以电子计算机和互联网为基础出现的。前面已经提到，在计算机的发明与发展中，数学起了关键性的作用，而互联网的结构设计从一开始就明确运用了图论的基本原理以保证其畅通无阻。此外，互联网和电子商务的安全性问题在当今已经成为一个极为引人注目的问题，无论是计算机病毒的危害还是黑客的侵入，其后果都可能是极为严重的。计算机病毒是一种恶意的软件，防病毒同样是靠各种软件，软件的核心是数学；对付黑客的办法是级别越来越高的电子加密，而现代密码学的基础是近世代数、数论、代数几何等一些相当高深的数学理论。

石油勘探是数学取得重大经济效益的应用场所之一。例如，1991年5月，美国壳牌石油公司应用计算技术探明了一个储量超过10亿桶的大油田。大约在1950年左右，当时的数学家维纳和华兹沃斯在几次随便的交谈中发现，数学中的时间序列分析对于石油的地震勘探可能是有用的，他们根据这种新的方法，使用手摇计算机分析从地层反射回来的声音信号。经过华兹沃斯、勃吕扬、鲁宾逊、赫利等人的发展，这种方法已经成了现代石油勘探的标准手段，它对探明储量、增加打井的准确率有重要指导意义，从而节省了大量资金和时间，取得了显著效益。

在现代通信中，由于设备、技术和其他原因，可能使所传输的信号发生差错，造成混乱或误解。例如，一艘宇宙飞船要将火星表面的复杂图像发送回地球，发回的信息必然混杂着随机的噪声。因此需要一种方法，使得在通讯过程中产生少量差错时可以及时发现和纠正。此外，为了实现信息的高速传输，还需要适当的信息压缩技术。数学方法为解决这些难题发挥了关键作用。实际上，早在20世纪60年代美国实施阿波罗登月计划时就已熟悉到：假如没有信息的数字化、纠错编码和数字滤波等一系列数学通讯技术，那么由于太空中的过强干扰，任何有用的信息都无法收到，因而当时就发展了相应的数学技术，如数学中的小波分析就对信息压缩技术起着决定性作用。后来在高清楚度电视开发的激烈竞争中，基于这些数学技术的美国“数字式”方案击败了最先起步的日本“模拟式”设计。1993年，美国有四家集团从事数字化电视的方案测试，GI公司、麻省理工学院最先取得突破，而日本“模拟NMESE”方案明显不如美国方案，不得不退出竞争。电视屏幕是信息处理的工作面，未来几乎所有重要的工作岗位都将与之相关，数学技术在如此重要的较量中起了关键作用。

20世纪70年代我国建造的四川龚咀水电站，由于建造过程中的种种原因，建成后长期不敢按设计水位运行，必须进行加固处理。当时面临一个实际问题：是将水库中的蓄水全部放掉后再进行大坝加固工程，还是让水电站边运行边进行加固处理?通过科学计算，得到了大坝在蓄水条件下进行纵缝灌浆的技术要求和控制数据，避免了放完水再灌浆而停产发电半年至一年的重大经济损失。

20世纪50年代末至60年代初，美国、欧洲和中国的数学家各自独立地提出了有限元法，它是一种求解微分方程边值问题的方法，具有广泛的适应性，可以方便地处理几何、物理条件极为复杂的工程计算问题。在1998年大洪水期间，为了确保武汉、南京等大工业城市的安全，有关部门面临荆江分洪的问题。20吨炸药已经装好，爆破进入倒计时，但这一方案在最后一刻被放弃。据当时的新闻报道，由多方专家组成的水利专家组用有限元法对荆江大堤的体积渗漏进行了测算，确定出一个安全系数。按照这个结果，沙市水位即使涨到45.3米，也可以坚持对长江大堤严防死守，不用分洪。

2002年，王选院士获得了国家科技最高奖，他的代表性成就是“汉字激光照排系统”。1975年，国家开发汉字信息处理系统工程，对其中的子课题“汉字精密照排”，王选选择了“数字存储”方案。他说：“由于我是数学系毕业，所以很轻易想到信息压缩，即用轮廓描述和参数描述相结合的方法描述字形，并于1976年设计出一套把汉字轮廓快速复原成点阵的算法。”到20世纪80年代初期，他开发的技术已经处于国际先进水平。20世纪90年代初，原来用电子分色机需要三四个小时的工作，用他的技术只需要20分，甚至9分。王选的成功具有很不平常的意义，其中数学技术是关键的因素之一。

经济理论的发展和研究，经济生活的日益纷繁复杂，越来越离不开数学的支持，离不开数学的理论和方法以及数学的思维方式。所以，经济的发展对数学课程产生的影响将是非常具体和深刻的。

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